摘要:在自然科學和工程實際應用中,有許多問題的求解最終都轉化為線性方程組的求解問題。例如,電學中的網絡問題,曲線擬合中常用的最小二乘法,樣條函數插值,解非線性方程組,求解偏微分方程的差分法、有限元法和邊界元法等。求解線性方程組的數值解法目前一般有兩大類，一類是直接方法，另一類是迭代方法。直接法在假定沒有舍入誤差的情況下,經過有限次運算可以求得方程組的精確解。迭代法則從一個初始向量出發,按照一定的迭代格式，構造出一個趨向于真解的無窮序列。在文獻[1-4]中對兩類方法有詳細的介紹。在科學研究和工程技術的實際計算中遇到的線性代數方程組，其系數矩陣往往具有對稱正定性,對應的方程組則稱為對稱正定線性方程組。而對于這種特殊的線性方程組我們可用平方根法,共軛梯度法等求解。平方根法是一種特殊的直接法,共軛梯度法是一種無需選松弛因子的迭代法,但如果計算精確,其經有限步可求得精確解。文獻[5-8]對這兩種方法進行了討論。本論文主要考慮了解對稱正定線性方程組的平方根法及共軛梯度法，介紹其基本思想及算法。并基于MATLAB編寫程序,針對一些具體的題目進行上機求解。通過數值實驗的結果我們可以進一步明確這兩種方法各自的特點,同時也表明了對稱正定線性方程組的應用價值。

關鍵詞  線性方程組；平方根法；共軛梯度法；預處理共軛梯度法；MATLAB

目錄

摘要

Abstract

1 緒論-1

2 對稱正定線性方程組的兩種解法-4

2.1 三角分解法-4

2.2 平方根法-5

2.3 共軛梯度法-8

2.4 預處理共軛梯度法-11

3 數值實驗-13

結論-18

致謝-19

參考文獻-20

附錄-21